Для любителей математики

[modernhistory]

ТЕОРЕМА НАПОЛЕОНА

Наполеон Бонапарт, несмотря на свою, ставшую притчей во языцех, практичность ума, всегда находил время заниматься математикой не только с утилитарными целями, но и просто ради развлечения. Он любил ее за красоту и изящество, видел в ней объект, достойный приложения изобретательности, механизм, оттачивающий логическое и образное мышление. Лейтенант, генерал, а впоследствии император с удовольствием решал чужие уравнения и геометрические задачи, а также сам их составлял. Вот одна из наиболее известных его теорем.

Теорема о равностороннем треугольнике

На сторонах произвольного треугольника АВС внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники. Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

Доказательство

Пусть М, N, К - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой. (Рис. 1)
По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120 градусам, а их сумма равна 360 градусам. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру на рис. 2.
Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, указанное на рис. 3, получаем четырёхугольник МDNK.
Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120 градусам каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60 градусам каждый.
Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать.

PS. Мне, клиническому гуманитарию, чтобы понять смысл вышеизложенного, понадобилось прочесть шесть раз. Не представляю, какие нужно иметь мозги, чтобы придумать это "просто ради развлечения".